Cara Menentukan Titik Balik Maksimum dan Minimum Grafik Fungsi Trigonometri Menggunakan Turunan Fungsi

Dalam
kesempatan ini akan kita bahas tentang kegunaan 
turunan fungsi trigonometri dalam menentukan titik balik dari sustu
kurva fungsi trigonometri. Perlu diingat bahwa turunan (Derivatif) fungsi salah
satu kegunaannya adalah untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi. Jadi, jika
terdapat suatu fungsi tertentu, maka untuk mencari titik optimumnya dapat
menggunakan turunan fungsi.

Dalam
konteks kali ini kita akan bahas secara khusus tentang fungsi trigonometri,
yaitu menggunakan turunan fungsi.

Jika
diketahui suatu grafik fungsi trigonometri y = f(x), maka nilai x pada titik
balik grafik fungsi trigonometri dapat dicari 
dengan menentukan y' = 0 atau f'(x) = 0.

Jika
diperoleh x₁ sebagai titik balik, dan f''(x) adalah turunan kedua
dari f(x) maka:

1.  Titik (x₁, f(x₁))
merupakan titik balik maksimum apabila f''(x₁) < 0.

2.  Titik (x₁, f(x₁))
merupakan titik balik minimum apabila f''(x₁) > 0.

Nah,
bagaimana cara menemukan titik  balik maksimum
dan minimum fungsi suatu grafik fungsi trigonometri?

Marilah
simak beberapa contoh dan pembahasannya berikut.

Contoh 1

Tentukan
titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin x + cos x, untuk 0^o
< x < 360^o

Jawaban:

Diketahui
y = sin x + cos x

Maka
turunannya adalah y ' = f'(x) = cos x - sin x

Selanjutnya
menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.

Sehingga
diperoleh:

Selanjutnya
untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan
(derivatif) kedua fungsi tersebut.

y
' = f'(x) = cos x - sin x , maka

y
'' = f''(x) = -sin x - cos x

Contoh 2

Tentukan
titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 2x,  untuk 0^o < x < 360^o

Jawaban:

Diketahui
y = sin 2x

Maka
turunannya adalah y ' = f'(x) = 2 cos 2x

Selanjutnya
menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.

Sehingga
diperoleh:

2
cos 2x = 0

cos
2x = 0

cos
2x = cos 90^o dan cos 270^o

(i)
2x = 90^o + k.360^o

Baca Juga:Cara Mudah Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (Pengantar Program Linear)

     x = 45^o + k.180^o

untuk
k = 0, maka x = 45^o

untuk
k = 1, maka x = 225^o

ii)
2x = 270^o + k.360^o

     x = 135^o + k.180^o

untuk
k = 0, maka x = 135^o

untuk
k = 1, maka x = 315^o

Selanjutnya
menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikanya ke persamaan fungsi
awal.

Untuk
x = 45^o, maka y = sin 2(45^o) = sin 90^o = 1.
Diperoleh titik balik (45^o, 1).

Untuk
x = 135^o, maka y = sin 2(135^o) = sin 270^o = -1.
Diperoleh titik balik (135^o, -1).

Untuk
x = 225^o, maka y = sin 2(225^o) = sin 450^o = 1.
Diperoleh titik balik (225^o, 1).

Untuk
x = 315^o, maka y = sin 2(315^o) = sin 630^o = -1.
Diperoleh titik balik (315^o, -1).

Selanjutnya
untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan
(derivatif) kedua fungsi tersebut.

y
' = f'(x) = 2 cos 2x, maka

y
'' = f''(x) = -4 sin 2x

Untuk
x = 45^o maka y '' = f''(45^o)
=  -4 sin 2(45^o)

                                  = -4 sin 90^o

                                  = -4  (negatif) 

Sehingga,
(45^o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.

Untuk
x = 135^o maka y '' = f''(135^o)
=  -4 sin 2(135^o)

                                    = -4 sin 270^o

                                    = 4  (positif) 

Sehingga,
(135^o, -1) titik merupakan titik balik minimum.

Untuk
x = 225^o maka y ''    = f''(225^o)
=  -4 sin 2(225^o)

                                  = -4 × sin (450^o)

                                  = -4  × sin 90^o

                                  = -4  × (1)

                                  = 4   (negatif) 

Sehingga,
(225^o, 1) titik merupakan titik balik maksimum.

Untuk
x = 315^o maka y '' = f''(315^o)
=  -4 sin 2(315^o)

                                    = -4 sin 630^o

                                    = -4 sin 270^o

                                    = -4 × (-1)

                                    = 4  (positif) 

Sehingga,
(315^o, -1) titik merupakan titik balik minimum.

Contoh 3

Tentukan
titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 3x – cos 3x,  untuk 0^o < x < 360^o

Baca Juga:Cara Mudah Menyelesaikan Pertidaksamaan Bentuk Rasional Satu Variabel

Jawaban:

Diketahui
y = sin 3x – cos 3x

Maka
turunannya adalah y ' = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x

Selanjutnya
menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat  y' = 0.

Sehingga
diperoleh:

3cos
3x + 3sin 3x = 0

cos
3x + sin 3x = 0

sin
3x = -cos 3x

 

tan
3x = -1 = tan 135^o

 Sehingga

 3x = 135^o + k.180^o

     x = 45^o + k.60^o

untuk
k = 0, maka x = 45^o

untuk
k = 1, maka x = 105^o

untuk
k = 2, maka x = 165^o

untuk
k = 3, maka x = 225^o

untuk
k = 4, maka x = 285^o

untuk
k = 5, maka x = 345^o

Selanjutnya
menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikan sudut-sudut tersebut
ke persamaan fungsi awal.

Fungsi
awal y = sin 3x – cos 3x

 

 

 

Selanjutnya
untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan
(derivatif) kedua fungsi tersebut.

y
' = f'(x) = 3cos 3x + 3sin 3x, maka

y
'' = f''(x) = -9sin 3x + 9cos 3x

               = 9{-sin 3x + cos 3x}

 

Demikianlah
sekilas materi turunan trigonometri dalam penggunaannya untuk menentukan titik
balik maksimum dan minimum.

Semoga
bermanfaat

Artikel Terkait

Cara Menentukan Titik Stasioner,Fungsi Naik dan Fungsi Turun pada Fungsi Trigonometri (Penggunaan Turunan Fungsi)



Cara Menentukan Persamaan Garis Singgung Grafik Fungsi Trigonometri