Penerapan
deret aritmetika dalam kehidupan keseharian sangat banyak. Selain itu dalam hal
bilangan penggunaan deret aritmetika juga diperlukan. Perlu diketahui bahwa
barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda antarsuku selalu
sama.
Jika
pola barisan bilangan memiliki suku awal a dan beda (Selisih) = b, maka pola
bilangan dapat dituliskan sebagai berikut.
a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b,
.......
Adapun
deret aritmetika adalah jumlah bilangan-bilangan yang membentuk barisan
aritmetika. Deret aritmetik dituliskan sebagai berikut.
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a
+ 3b) + (a + 4b) + .......+ a + (n – 1)b
Untuk
mempelajari penerapan tentang barisan
dan deret aritmetika, mari menyelesaikan
permasalahan di bawah ini.
Permasalahan 1
Diketahui
jumlah 3 bilangan ganjil berurutan adalah 5.001. Tentukan bilangan-bilangan
itu.
Penyelesaian
Ingat
bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil dapat disimbolkan atau
dimisalkan dengan 2n + 1.
Jika
terdapat tiga bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3,
2n + 5.
Jumlah
3 bilangan ganjil berurutan adalah 5.001.
(2n
+ 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 5.001
6n + 9 = 5.001
6n =
5.001 – 9
6n = 4.992
n =
4.992 : 6
n = 832
Sehingga
diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n
+ 1 = 2(832) + 1 = 1.664 + 1 = 1.665
2n
+ 3 = 2(832) + 3 = 1.664 + 3 = 1.667
2n
+ 5 = 2(832) + 5 = 1.664 + 5 = 1.669
Jadi,
ketiga bilangan itu adalah 1.665, 1.667, dan 1.669.
Permasalahan 2
Diketahui
jumlah 3 bilangan genap berurutan adalah 12.000. Tentukan bilangan-bilangan
itu.
Penyelesaian
Ingat
bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap dapat disimbolkan atau
dimisalkan dengan 2n, atau 2n + 2.
Jika
terdapat tiga bilangan genap berurutan maka dapat dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4.
Jumlah
3 bilangan genap berurutan adalah 12.000.
2n
+ (2n + 2) + (2n + 4) = 12.000
6n + 6 = 12.000
6n = 12.000 – 6
6n = 11.994
n = 11.994 : 6
n = 1.999
Sehingga
diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n
= 2(1.999) = 3.998
2n
+ 2 = 2(1.999) + 2 = 3.998 + 2 = 4.000
2n
+ 4 = 2(1.999) + 4 = 3.998 + 4 = 4.002
Jadi,
ketiga bilangan itu adalah 3.998, 4.000, dan 4.002.
Permasalahan 3
Diketahui
jumlah 5 bilangan ganjil berurutan adalah 9.005. Tentukan bilangan-bilangan
itu.
Penyelesaian
Ingat
bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan ganjil dapat disimbolkan atau
dimisalkan dengan 2n + 1.
Jika
terdapat lima bilangan ganjil berurutan maka dapat dituliskan: 2n + 1, 2n + 3,
2n + 5, 2n + 7, 2n + 9.
Jumlah
5 bilangan ganjil berurutan adalah 9.005.
(2n
+ 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) + (2n + 9) = 9.005
10n + 15 = 9.005
10n = 9.005 – 15
10n = 8.990
n = 8.990 : 10
n = 899
Sehingga
diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n
+ 1 = 2(899) + 1 = 1.798 + 1 = 1.799
2n
+ 3 = 2(899) + 3 = 1.798 + 3 = 1.801
2n
+ 5 = 2(899) + 5 = 1.798 + 5 = 1.803
2n
+ 7 = 2(899) + 7 = 1.798 + 7 = 1.805
2n
+ 9 = 2(899) + 9 = 1.798 + 9 = 1.807
Jadi,
kelima bilangan itu adalah 1.799, 1.801, 1.803, 1.805, dan 1.807.
Permasalahan 4
Diketahui
jumlah 5 bilangan genap berurutan adalah 100.000. Tentukan bilangan-bilangan
itu.
Penyelesaian
Ingat
bahwa untuk n = 1, 2, 3, 4,.... Bilangan genap dapat disimbolkan atau dimisalkan
dengan 2n atau 2n + 2.
Jika
terdapat lima bilangan genap berurutan maka dapat dituliskan: 2n, 2n + 2, 2n + 4,
2n + 6, 2n + 8.
Jumlah
5 bilangan genap berurutan adalah 100.000.
(2n)
+ (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 100.000
10n + 20 = 100.000
10n = 100.000 – 20
10n = 99.980
n = 99.980 : 10
n = 9.998
Sehingga
diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
2n
= 2(9.998) = 19.996
2n
+ 2 = 2(9.998) + 2 = 19.996 + 2 = 19.998
2n
+ 4 = 2(9.998) + 4 = 19.996 + 4 = 20.000
2n
+ 6 = 2(9.998) + 6 = 19.996 + 6 = 20.002
2n
+ 8 = 2(9.998) + 8 = 19.996 + 8 = 20.004
Jadi,
kelima bilangan itu adalah 19.996, 19.998, 20.000, 20.002, dan 20.004.
Permasalahan 5
Diketahui
panjang tali mula-mula adalah 950 cm. Tali itu akan dipotong menjadi 5 tali dan
panjang tali membentuk barisan aritmetika. Tentukan panjang setiap tali jika
selisih antartali adalah 5 cm.
Penyelesaian
Permasalahan
tentang deret aritmetika dengan jumlah 5 bilangan.
Diketahui
Jumlah lima tali (Sn) = 950 dan beda (b) = 5.
Sehingga
dapat ditulis:
a
+ (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = S5
a
+ (a + 5) + (a + 2(5)) + (a + 3(5)) + (a + 4(5)) = 950
a
+ (a + 5) + (a + 10) + (a + 15) + (a + 20) = 950
5a + 50 = 950
5a = 950 – 50
5a = 900
a = 900 : 5
a = 180
Sehingga
diperoleh bilangan-bilangan itu sebagai berikut.
a
; (a + 5) ; (a + 10) ; (a + 15) dan (a + 20)
180
; (180 + 5) ; (180 + 10) ; (180 + 15) dan (180 + 20)
180,
185, 190, 195, dan 200.
Jadi,
kelima bilangan itu adalah 180, 185, 190, 195, dan 200.
Demikianlah
sekilas materi tentang penerapan barisan dan deret aritmetika dalam
menyelesaikan masalah.
Semoga
bermanfaat.