Kali
ini kita akan membahas tentang penggunaan induksi matematika dalam keterbagian. Misalnya untuk membuktikan suatu bentuk fungsi aljabar
dalam n yang dapat dibagi suatu bilangan tertentu. Atau suatu fungsi aljabar
yang merupakan kelipatan bilangan tertentu.
Jika
dipunyai bentuk P(n) adalah rumus yang ditetapkan n dalam bilangan asli, maka langkah
langkah membuktikan suatu rumus atau
pernyataan P(n) adalah :
1.
Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2.
Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k dan harus
dibuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
Untuk
lebih jelasnya mari membuktikan suatu fungsi n dalam keterbagian menggunakan
induksi matematika.
1.
Tunjukkan bahwa 11n – 6 habis dibagi 5 untuk setiap nilai n bilangan
asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan
P(n) = 11n – 6 habis dibagi
5.
Untuk
n = 1
Maka
P(1) = 111 – 6 = 11 – 6 = 5
(habis dibagi 5)
Untuk
n = k
Maka
P(k) = 11k – 6 diasumsikan
habis dibagi 5.
Dengan
demikian untuk m bilangan asli berlaku:
11k
– 6 = 5m
atau 11k = 5m + 6
...... (1)
Untuk
n = k + 1
Maka
P(k + 1) = 11k + 1 – 6 akan
dibuktikan habis dibagi 5.
P(k
+ 1) = 11k + 1 – 6
= 11k 111 –
6
= 11 × 11k – 6
= 11 × (5m + 6) – 6
=
(55m + 66) – 6
=
55m – 60
=
5 × (11m – 12) (menunjukkan
bilangan kelipatan 5 atau habis dibagi 5)
Sehingga
untuk P(k + 1) terbukti benar.
Dari
pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa 11k – 6 habis dibagi 5.
2.
Tunjukkan bahwa 4.007n – 1 habis dibagi 2.003 untuk setiap nilai n
bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan
P(n) = 4.007n – 1 habis
dibagi 2.003.
Untuk
n = 1
Maka
P(1) = 4.0071 – 1 = 4.007 – 1
= 4.006 (habis dibagi 2.003)
Untuk
n = k
Maka
P(k) = 4.007k – 1 diasumsikan
habis dibagi 2.003.
Dengan
demikian untuk m bilangan asli berlaku:
4.007k
– 1 = 2.003m atau 4.007k = 2.003m + 1 ...... (1)
Untuk
n = k + 1
Maka
P(k + 1) = 4.007k+1 – 1 akan
dibuktikan habis dibagi 2.003.
P(k
+ 1) = 4.007k+1 – 1
= 4.007k × 4.007 – 1
= (2.003m + 1)× 4.007 – 1
= (2.003m × 4.007 + 4.007) – 1
=
(2.003m × 4.007 + 4.006
=
(2.003 × 4.007m + 2.003 × 2)
=
2.003 × (4.007m + 2) (menunjukkan
bilangan kelipatan 2003 atau habis dibagi 2.003)
Sehingga
untuk P(k + 1) terbukti benar.
Dari
pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa 4.007n – 1 habis dibagi 2.003.
3.
Tunjukkan bahwa xn – 1 habis dibagi x - 1 untuk setiap nilai n bilangan
asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan
P(n) = xn – 1 habis dibagi x
- 1.
Untuk
n = 1
Maka
P(1) = x1 – 1 = x – 1 (habis dibagi x – 1)
Untuk
n = k
Ingat
bahwa: x2 – 1 = (x – 1)(x +
1)
x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)
x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x +
1)
Maka
P(k) = xk – 1 diasumsikan
habis dibagi (x – 1).
Dengan
demikian untuk m bilangan asli berlaku:
xk
– 1 = m(x – 1) maka xk = m(x – 1) + 1 atau xk = mx – m + 1
...... (1)
Untuk
n = k + 1
Maka
P(k + 1) = xk+1 – 1 akan
dibuktikan habis dibagi x - 1.
P(k
+ 1) = xk+1 – 1
= xk · x – 1
= (mx – m + 1) × x – 1
= mx2 – mx + x – 1
=
mx(x – 1) + (x – 1)
=
(mx + 1)(x – 1)
=
(x – 1)(mx + 1) (menunjukkan bentuk
ini dapat dibagi x - 1)
Sehingga
untuk P(k + 1) terbukti benar dapat dibagi (x – 1).
Dari
pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa xn – 1 habis dibagi x - 1.
4.
Tunjukkan bahwa xn – yn habis dibagi x - y untuk setiap
nilai n bilangan asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan
P(n) = xn – yn habis dibagi x - y.
Untuk
n = 1
Maka
P(1) = x1 – y1 = x
– y (habis dibagi x – y)
Untuk
n = k
Ingat
bahwa: x2 – y2 =
(x – y)(x + y)
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
x4 – y4 = (x – y)(x3 + x2y + xy2
+ y3)
Maka
P(k) = xk – yk
diasumsikan habis dibagi (x – y).
Dengan
demikian untuk m bilangan asli berlaku:
xk
– yk = m(x – y) maka xk = m(x – y) + yk .....(1) dan
yk = xk – m(x – y) ..... (2)
Untuk
n = k + 1
Maka
P(k + 1) = xk+1 – yk+1
akan dibuktikan habis dibagi x - y.
P(k
+ 1) = xk+1 – yk+1
= x · xk – y · yk
= x · (m(x – y) + yk) – y · (xk – m(x – y)
= x · (mx – my + yk) – y · (xk – mx + my)
= mx2 – mxy + xyk – yxk + mxy – my2
=
mx2 – my2 + xyk – yxk
=
m(x2 – y2) + xy(yk-1 – xk-1)
=
m(x – y)(x + y) - xy(xk-1 – yk-1)
Perhatikan
bahwa: m(x – y)(x + y) habis dibagi (x – 1) dan xy(xk-1 – yk-1) habis dibagi (x – 1).
Dengan
demikian m(x – y)(x + y) - xy(xk-1 – yk-1) habis dibagi (x – 1).
Jadi,
P(k + 1) = xk+1 – yk+1 habis dibagi (x – 1) terbukti
benar.
Dari
pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa xn – yn habis dibagi x
- y untuk setiap nilai n bilangan asli.
5.
Tunjukkan bahwa P(n) = n(n + 1)(n + 5) merupakan kelipatan 3 untuk n bilangan
asli. Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.
Jawaban:
Misalkan
P(n) = n(n + 1)(n + 5)
Untuk
n = 1
Maka
P(1) = 1(1 + 1)(1 + 5) = 1 x 2 x 6 = 12
(12 merupakan kelipatan 3)
Untuk
n = k
Maka
P(k) = k(k + 1)(k + 5) diasumsikan kelipatan 3.
Untuk
n = k + 1
Maka
P(k + 1) = (k+1)((k+1) + 1)((k +1) + 5) akan dibuktikan kelipatan 3.
P(k
+ 1) = (k+1)((k+1) + 1)((k +1) + 5)
= (k + 1)(k + 2)(k + 6)
= (k2 + 3k + 2)(k + 6)
= k3 + 3k2 +
2k + 6k2 + 18k + 12
= k3 + 9k2 +
20k + 12
=
(k3 + 6k2 + 5k) + (3k2 + 15k + 12)
=
k(k2 + 6k + 5) + 3(k2 + 5k + 4)
=
k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 4)
Perhatikan
bahwa: k(k + 1)(k + 5) habis dibagi 3 dan 3(k + 1)(k + 4) habis dibagi 3.
Dengan
demikian P(k + 1) habis dibagi 3.(benar)
Dari
pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara benar bahwa P(n) = n(n + 1)(n + 5) habis dibagi 3 untuk
setiap nilai n bilangan asli.
Demikian
sekilas tentang penggunaan induksi matematika dalam pembuktian keterbagian.
Semoga
bermanfaat.
[VIDEO TUTORIAL] Penggunaan Induksi Matematika Dalam Keterbagian #1
[VIDEO TUTORIAL] Penggunaan Induksi Matematika Dalam Keterbagian #2
Artikel Terkait
Penggunaan Induksi Matematika dalam Pembuktian Deret atau Jumlah Barisan Bilangan