Dalam
kesempatan ini akan kita bahas cara menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk
kuadrat. Dalam menyelesaikan persamaan ini sebagai dasar penyelesaian adalah
identitas trigonometri.
Contoh
bentuk persamaan trigonometri bentuk kuadrat sebagai berikut.
1. 2 sin2 x + sin x = 0
2. 2 sin2 x + 3sin x + 1 = 0
3. 2 cos2 x + 7 cos x – 4 = 0
4. 12 sin2 x + cos x – 6 = 0
Persamaan-persamaan
trigonometri di atas dapat diselesaikan denga cara yang mudah. Tentunya dengan
cara yang sesuai dengan konsep yang benar pula.
Sebagai
dasar dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda sebelumnya juga harus
menguasai persamaan kuadrat. Terutama cara menentukan akar-akar persamaan
tersebut.
Nah,
bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri di atas?
Langsung
saja simak pembahasan di bawah ini.
Contoh 1
Tentukan
nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin2 x + sin x = 0, untuk 0 < x
< 360o.
Jawaban:
2
sin2 x + sin x = 0
sin
x (2sin x + 1) = 0
sin
x = 0 atau 2sin x + 1 = 0
Selanjutnya
kita cari penyelesaian satu persatu.
(i)
sin x = 0, diperoleh sin x = sin 0, sin 360o
Dengan demikian diperoleh x = 0, 360o
(ii)
2sin x + 1 = 0
2sin x = -1
sin x = -1/2
sin x = sin 120o, sin 240o
Dengan demikian diperoleh x = 120o, 240o
Jadi,
nilai x yang memenuhi adalah x = 0, 120o, 240o, 360o
Contoh 2
Tentukan
nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin2 x + 3sin x + 1 = 0, untuk 0
< x < 360o.
Jawaban:
2
sin2 x + 3sin x + 1 = 0
Ingat bentuk identik dengan 2p2 + 3p + 1
Selanjutnya
difaktorkan
Ingat
: 2p2 + 3p + 1 = (2p + 1)(p + 1)
Dengan
demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:
(2sin
x + 1)(sin x + 1) = 0
2sin
x + 1 = 0 atau sin x + 1 = 0
Selanjutnya
kita cari penyelesaian satu persatu.
(i)
sin x + 1 = 0
sin x
= -1
sin x = sin 270o
Dengan demikian diperoleh x = 270o
(ii)
2sin x + 1 = 0
2sin x = -1
sin x = -1/2
sin x = sin 120o, sin 240o
Dengan demikian diperoleh x = 120o, 240o
Jadi,
nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin2 x + 3sin x + 1 = 0 adalah x = 120o, 240o,
270o .
Contoh 3
Tentukan
nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos2 x + 7 cos x – 4 = 0, untuk 0
< x < 360o.
Jawaban:
2
cos2 x + 7 cos x – 4 = 0
Ingat bentuk identik dengan 2p2 + 7p – 4 = 0
Selanjutnya
difaktorkan
Ingat
: 2p2 + 7p – 4 = (2p - 1)(p + 4)
Dengan
demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:
(2cos
x - 1)(cos x + 4) = 0
2cos
x – 1 = 0 atau cos x + 4 = 0
Selanjutnya
kita cari penyelesaian satu persatu.
(i)
2cos x – 1 = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2
cos x
= cos 60o, cos 300o
Dengan demikian diperoleh x = 60o,
300o
(ii)
cos x + 4 = 0
cos x
= -4
Tidak ada nilai x yang memenuhi.
Jadi,
nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos2 x + 7 cos x – 4 = 0 adalah x
= 60o, 300o.
Contoh 4
Tentukan
nilai x yang memenuhi persamaan 12 sin2 x + cos x – 6 = 0, untuk 0
< x < 360o.
Jawaban:
Sebelum
menyelesaikan, ingat dahulu identitas trigonometri: sin 2x + cos 2x
= 1.
Maka:
sin 2x = 1 – cos 2x
12
sin2 x + cos x – 6 = 0
12
(1 – cos 2x) + cos x – 6 = 0
12 – 12cos 2x + cos x – 6 = 0
-12cos 2x + cos x + 6 = 0
12cos 2x - cos x - 6 = 0
12cos
2x - cos x - 6 = 0 Ingat bentuk identik dengan 12p2 -
p – 6 = 0
Selanjutnya
difaktorkan
Ingat
: 12p2 - p – 6 = (3p + 2)(4p - 3)
Dengan
demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:
(3cos
x + 2)(4cos x - 3) = 0
3cos
x + 2 = 0 atau 4cos x – 3 = 0
Selanjutnya
kita cari penyelesaian satu persatu.
(i)
3cos x + 2 = 0
3cos x = -2
cos x = -2/3
cos x = cos 131,81o,
cos 228,19o
Dengan demikian diperoleh x = 131,81o
; 228,19o
(ii)
4cos x – 3 = 0
4cos x = 3
cos x = 3/4
cos x = cos 41,4o, cos
318,6o
Dengan demikian diperoleh x = 41,4o
; 318,6o
Jadi,
nilai x yang memenuhi persamaan 12cos 2x - cos x - 6 = 0 adalah x = 41,4o ; 131,81o
; 228,19o ; 318,6o
.
Demikianlah
sekilas materi tentang cara menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk
kuadrat.
Semoga
bermanfaat.