Turunan Fungsi Trigonometri_ (Dasar)

 

Rumus
turunan trigonometri berisi persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi
trigonometri seperti sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tan),  kosekan (cosec), sekan (sec), dan kotangen (cot),
dan fungsi trigonometri lainnya.

 

Sebenarnya
turunan Trigonometri itu mudah? Asalkan dasarnya dikuasai dahulu. Apa sih
turunan fungsi trigonometri itu? Dan gimana sih cara menyelesaikan turunan
fungsi trigonometri?

 

Turunan
fungsi trigonometri yaitu proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu
fungsi trigonometri ataupun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya.

 

Misalkan
turunan f(x) ditulis f’(a) yang artinya tingkat perubahan fungsi di titik a.
Fungsi trigonometri yang biasa digunakan adalah sin x,cos x, dan tan x.

 

Sebenarnya
turunan fungsi dan limit fungsi memiliki keterkaitan konsep. Turunan fungsi
trigonometri diperoleh dari limit fungsi trigonometri. Karena turunan merupakan
bentuk khusus dari limit.

 

Berdasarkan
hal tersebut, diperoleh rumusan turunan fungsi trigonometri sebagai berikut

 

1.
Turunan y = sin x adalah y' = cos x

2.
Turunan y = cos x adalah y' = -sin x

3.
Turunan y = sin ax adalah y' = a cos ax

4.
Turunan y = cos ax adalah y' = a sin ax

5.
Turunan y = tan x adalah y' = sec² x

6.
Turunan y = cotan x adalah y' = -cosec² x

7.
Turunan y = tan ax adalah y' = a sec² ax

8.
Turunan y = cotan ax adalah y' = -a cosec² ax

9.
Turunan y = sec x adalah y' = sec x tan x

10.
Turunan y = cosec x adalah y' = -cosec x cotan x

11.
Turunan y = sec ax adalah y' = a sec ax tan ax

12.
Turunan y = cosec ax adalah y' = -a cosec ax cotan ax

 

Misalkan
u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u
terhadap x, maka rumus turunannya akan menjadi:

 

1.
Turunan y = sin u adalah y' = cos u × u'

2.
Turunan y = cos u dalah y' = -sin u × u'

3.
Turunan y = tan u adalah y' = sec² u × u'

4.
Turunan y = cotan u adalah = -cosec² u × u'

5.
Turunan y = sec u adalah y' = sec u tan u × u'

6.
Turunan y = cosec u adalah y' = -cosec u cotan u × u'

 

Jika
diperluas lagi bentuknya,maka turunan fungsi trigonometri dapat dirumuskan lagi
sebagai berikut.

1.
Turunan y = sin (ax + b) adalah y' = a cos (ax + b)

2.
Turunan y = cos (ax + b) dalah y' = -a sin (ax + b)

3.
Turunan y = tan (ax + b) adalah y' = a sec² (ax + b)

4.
Turunan y = cotan (ax + b) adalah = -a cosec² (ax + b)

5.
Turunan y = sec (ax + b) adalah y' = a sec (ax + b) tan (ax + b)

6.
Turunan y = cosec (ax + b) adalah y' = -a cosec (ax + b) cotan (ax + b)

 

Agar
lebih jelas, perhatikan contoh-contoh berikut.

Tentukan
turunan fungsi trigonometri berikut.

1.  y = 
sin (4x – 3)

2. y =
cos (6x + 1)

3. y =
tan (2 – 9x)

4. y =
2 sin (x² – 7x)

5. y =
sec (3x² + 5x)

6. y =
3 cotan (4x² – x + 2)

Jawaban:

1.  y = 
sin (4x – 3),     dapat ditulis y
= sin u

     Misal u = 4x – 3 ,maka u' = 4

     y'  =
cos u × u'

         =
cos (4x – 3) × 4

         = 4 cos (4x – 3)

 

2. y =
cos (6x + 1),    dapat ditulis y = cos u

     Misal u = 6x + 1 ,maka u' = 6

     y'  =
-sin u × u'

         =
-sin (6x + 1) × 6

         = -6 sin (6x + 1)

 

3. y =
tan (2 – 9x),    dapat ditulis y = tan u

     Misal u = 2 – 9x ,maka u' = -9

     y'  =
sec² u × u'

         =
sec² (2 – 9x) × (-9)

         = -9 sec² (2 – 9x)

 

4. y =
2 sin (x² – 7x),     dapat
ditulis y = sin u

     Misal u = x² – 7x, maka u' = 2x
– 7

     y'  =
cos u × u'

         =
cos (x² – 7x) × (2x –
7)

         = (2x – 7) cos (x² – 7x)

 

5. y =
sec (3x² + 5x) dapat ditulis y = sec u

     Misal u = 3x² + 5x, maka u' = 6x
+ 5

     y'  =
y' = sec u tan u × u'

         =
sec (3x² + 5x) tan (3x² + 5x) × (6x + 5)

         = (6x + 5) sec (3x² + 5x)
tan (3x² + 5x)

 

6. y =
3 cotan (4x² – x + 2),   
dapat ditulis y = cotan u

     Misal u = 4x² – x + 2,maka u' =
8x – 1

     y'  =
-cosec² u × u'

         =
-cosec² (4x² – x + 2) × (8x –
1)

         = -(8x – 1) cosec² (4x²
– x + 2)

 

Demikian
sekilas materi tentang turunan fungsi trigonometri.

Semoga
Bermanfaat.